自古以来，传染病对人类生存和社会经济发展构成了巨大威胁,如在1918—1919年爆发的“甲型流感”H1N1，1957-1958年的“甲型流感”H2N2和1968—1969年的“甲型流感”H3N2，共造成数千万人丧生[1-3].在2009年4月至2010年8月的甲型流感H1N1造成了世界范围内大面积爆发,数万人因染流感而导致死亡.另外，其他主要人类致命性传染病包括乙肝、禽流感、黄热病、登革热及查加斯病都给家庭和社会带来了巨大的损失.因此对传染病动力学的研究一直是科学研究的一个热点和焦点.随着当今时代，经济、信息等各方面的快速发展，传染病发生和传播过程中的信息因素已经很大程度影响了传染病的流行[4]，所以在建立数学模型时，有必要引入传染病发生和传播的信息因素.

最近有些工作已经把信息因素考虑到疾病传播模型中，并且得到许多有意义的结果,如文献[5-7]研究了信息对降低传染率的作用；文献[8-10]考虑了信息产生时滞对模型动力学行为的影响；文献[11]考虑了信息对接种策略的影响；文献[12-13]研究了疾病发生时人们因采取保护措施而不会被感染的情况下，信息对疾病传播的影响.以上相关研究大都假设信息只有在疾病发生和流行时才会产生.实际上某些疾病的相关信息会由于人与人之间日常的交流和政府的日常宣传等因素而自然增长.

结合现实情况，人们采取保护措施不一定会避免传染，只会降低传染的可能性，所以考虑疾病发生时人们采取保护措施后仍会被感染能够更好的反映实际情况[20].基于上述分析，本文中，笔者在建立动力学模型中，主要考虑疾病发生时人们采取保护措施后仍会被感染，并且考虑到信息的产生不仅与染病者有关之外[14]，还考虑到相关信息呈Logistic自然增长.

1 模型的建立

假设所考虑地区易感染者的常数输入率为A,自然死亡率为d,疾病只有通过易感者与染病者的直接接触才能传播，由于媒体对关于疾病信息的报道，易感染者会产生预防疾病的意识，进而采取一定的保护措施，减少与感染者的接触形成新的一类具有保护意识的易感染者.因此将整个人群分为3类：无保护意识的易感染者，有保护意识的易感者和感染者，分别用Su(t),Sp(t),I(t)表示t时刻他们的数量[15-16，20].β表示无保护意识的易感染者与染病者的接触率，β1表示对接触感染的衰减率且分布在[0,1]之间,γ表示恢复率,p表示感染者恢复后成为有保护意识的易感染者所占的比例[21]，α表示因病死亡率.

假设M(t)为t时刻在所考虑地区与疾病相关的信息量，本文中，笔者除了考虑信息的产生与染病者有关之外，还假设相关信息将按照Logistic自然增长.λ表示通过媒体进行疾病意识的宣传，意识在无保护意识的易感人群中的传播率，λ0表示有保护意识的易感染者转化为无保护意识的转化率[20]，e表示信息的内禀增长率，k表示信息自然增长的最大承载量，b表示由染病者引起的信息的增长率，以上所有的参数均为正值.根据上面的规则，得到如下模型：

假设N(t)表示所考虑地区的总人口数，由于N(t)=Su(t)+Sp(t)+I(t)，系统(1)可以转化为以下系统:

下面研究系统(2)，其可行域为

2 基本再生数以及平衡点的存在性

在这一部分，计算出了系统(2)的基本再生数,并证明无病平衡点和地方病平衡点的存在性.

2.1 基本再生数和无病平衡点的存在性

系统(2)总是存在无病平衡点和根据下一代矩阵法[17]计算基本再生数可得

2.2 地方病平衡点的存在性

定理1当时，系统(2)存在唯一的地方病平衡点其中

证由系统(2)可得地方病平衡点满足的方程组为

由方程组(3)的第1个等式可得由第3个等式可得由第4个等式可得并且I*满足以下一元二次方程：

其中：

当时，A1>0，A3<0，则唯一存在故定理得证.

3 局部渐近稳定性

在这一部分，对无病平衡点以及地方病平衡点的局部渐近稳定性进行分析.

3.1 无病平衡点的局部渐近稳定性

定理2系统(2)在无病平衡点E0总是不稳定的.

证为了研究无病平衡点E0的局部稳定性，计算系统(2)在E0处的雅克比矩阵可得

则系统(2)在E0处的特征方程为

此方程显然存在特征根λ1=e>0，故E0是不稳定的.

定理3当时，无病平衡点E1局部渐近稳定；当时，无病平衡点E1不稳定.

证计算系统(2)在E1处的雅克比矩阵可得

文章来源：《信息记录材料》 网址: http://www.xxjlcl.cn/qikandaodu/2021/0415/1522.html