传染病发生和传播的信息因素已被很多研究者引入到传染病模型中。文献［1-3］研究了信息对降低传染率的作用；文献［4-6］考虑了信息产生时滞对模型动力学行为的影响；文献［7］考虑了信息对接种策略的影响；文献［8-9］研究了疾病发生时人们因采取保护措施而不会被感染的情况下，信息对疾病传播的影响。以上相关研究大都假设信息只有在疾病发生和流行时才会产生。实际上某些疾病的相关信息会由于人与人之间日常的交流和政府的日常宣传等因素而自然增长。基于上述分析，本文除了考虑信息的产生与染病者有关之外，还假设相关信息将按照Logistic自然增长，最终建立如下动力学模型：

其中：S（t）、I（t）、R（t）分别表示t时刻易感者、染病者、恢复者的数量；M（t）为t时刻与疾病相关的信息量；Λ为人口的输入常数；β为传染率；θ为信息的有效接触率；μ为自然死亡率；α为因病死亡率；γ为染病者的恢复率系数；e为信息的内禀增长率；k为信息自然增长的最大承载量；b为由染病者引起的信息的增长率。

1 解的非负性和有界性

注意到系统（1）中关于R的方程与其余3个方程无关，故只需考虑如下等价系统：

依据生物学意义，假设非负初始条件：

S（0）≥0，I（0）≥0，M（0）≥0 （3）

定理1 系统（2）的正不变集为Γ＝｛（S，I，

证明：对任意（S，I，M）∈Γ，可得

由非负初始条件式（3）可得解是非负的。将系统（2）的第一和第二个方程相加得

根据比较原理可得

根据式（4），再由系统（2）的第3个方程可知

再根据比较原理可得

所以，Γ是系统（2）的正不变集。

2 平衡点的存在性和稳定性

为了研究相关平衡点的局部稳定性，计算系统（2）在平衡点处的Jacobian矩阵可得：

定理3 系统（2）的无病平衡点E0总是不稳定的。

证明：系统（2）在E0处的特征方程为

方程显然存在特征根λ1＝e＞0，故E0是不稳定的。

定理4 当R0＜1时，无病平衡点E1局部渐近稳定；当R0＞1时，无病平衡点E1不稳定。

证明：系统（2）在E1处的特征方程为

易见方程的3个特征根分别为λ1＝-e，λ2＝-μ-kθ，λ3＝（μ+α+γ）（R0-1）。

所以，当R0＜1时，3个特征根都是负的，知E1是局部渐近稳定的；当R0＞1时，λ3＞0，知E1不稳定。

定理5 假设R0＞1。当下列条件之一成立时，系统（2）的地方病平衡点E*（S*，I*，M*）是局部渐近稳定的：

证明：系统（2）在E*处的特征方程为

显然，ai＞0（i＝1，2，3，4）。根据Routh-Hurwitz稳定性判据可知，E*是局部渐近稳定的当且仅当a1a2-a0a3＞0，即

3 Hopf分支的存在性

4 数值模拟

图1 以k为分支参数的分支图

图2 k＝2.9时的S-I-M三维相图

图3 k＝39时的S-I-M三维相图

5 结束语

本文讨论了一个信息变量具有Logistic增长方式的SIR传染病模型。研究了系统的解的一些基本性质，并分别得到解的局部稳定的条件和产生分支的条件，最后用数值模拟验证了本文的理论研究。从上述模型可以发现，随着信息自然承载量的增加，流行病平衡点处的染病者数量不断下降，说明信息的增加有利于疾病的控制；同时发现流行病平衡点从渐近稳定变到不稳定，再变到稳定；当信息自然承载量处于中间水平时，有周期解产生，即染病者数量呈周期震荡。

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文章来源：《信息记录材料》 网址: http://www.xxjlcl.cn/qikandaodu/2021/0415/1521.html